1. Lee y analiza el
siguiente planteamiento:
¿Sabías que la
velocidad de la luz es de 300,000 km/s? Existen laboratorios dedicados a la
investigación en Física de partículas, mismas que se encuentran en todo el
universo. Algunos investigadores intentan calcular qué tanto se puede acelerar
una partícula y de esta manera acercarnos a saber si los objetos pueden viajar
a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.
Se estudia, en
específico, el caso de una partícula cuya aceleración está dado por:
Los investigadores,
están interesados en determinar:
a) ¿Cuál es la
función de velocidad si al instante t= 0 la velocidad de dicha partícula es de
10?
Dada la aceleración: 
Para encontrar la función de velocidad, realizamos la antiderivada
(o integral indefinida) de la aceleración con respecto al tiempo:
Para la integral de 2t con respecto a, aplicamos la regla de
potencias:
donde C1 es una constante de integración.
Para la integral de -7 con respecto a at, simplemente
aplicamos la regla de la constante:
donde C2 es otra constante de integración.
Juntando las dos integrales, tenemos:
Simplificando, tenemos:
donde C = C1 + C2 es la constante de integración.
Usando la condición inicial de que al instante t = 0, la
velocidad de la partícula es de 10, evaluamos la función de velocidad en t = 0:
Esto nos permite encontrar el valor de C.
Resolviendo la fórmula, obtenemos:
Sustituyendo el valor de C en la función de velocidad: 
b) ¿Cuál es la
función de posición, la cual se sabe que en el instante t= 0 toma un valor de
2?
Para determinar la función de posición con la condición
inicial de que en el instante t = 0 la posición de la partícula es de 2,
necesitamos integrar la función de velocidad.
La función de velocidad es: 
Para obtener la función de posición, realizamos la integración
de la función de velocidad con respecto al tiempo:
Aplicando las reglas de integración, obtenemos:
Donde C es una constante de integración.
Utilizamos la condición inicial de que en el instante t = 0
la posición de la partícula es de 2:
Esto nos permite encontrar el valor de C.
Simplificando la ecuación, tenemos:
Sustituyendo el valor de C en la expresión de f(t),
obtenemos la función de posición:
Por lo tanto, la función de posición de la partícula, con la
condición inicial de que en el instante 
c) ¿Cuánto ha
recorrido la partícula en el intervalo [6,12]?
Para determinar la distancia recorrida por la partícula en
el intervalo [6, 12], debemos calcular la integral definida de la función de
velocidad en ese intervalo.
La función de velocidad es:
Para obtener la distancia recorrida, integramos la función
de velocidad y evaluamos la integral en los límites del intervalo [6, 12]:
Distancia recorrida = 
Aplicamos la regla fundamental del cálculo para la integral
definida:
Distancia recorrida 
donde F(t) es la función primitiva (o
antiderivada) de f'(t).
Para encontrar F(t), realizamos la integración de la función
de velocidad:
Aplicamos las reglas de integración para cada término:
donde C es una constante de integración.
Calculamos 
Restamos F (6) de F(12) para obtener la distancia recorrida:
Distancia recorrida 
Simplificando la expresión, obtenemos la distancia recorrida
en el intervalo [6, 12].
Es importante tener en cuenta que el valor exacto de la
distancia recorrida dependerá de los valores numéricos de los límites del
intervalo [6, 12] y de la constante de integración C.
d) Determina los
puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.
Para determinar los puntos máximos y mínimos en la función de posición,
debemos encontrar los puntos críticos, es decir, los valores de t donde la
derivada de la función de posición se anula.
La función de posición es:
Primero, encontramos la derivada de la función de posición:
Aplicamos las reglas de derivación para cada término:
Simplificamos las derivadas:
Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la ecuación 
Podemos factorizar la ecuación:
Esto nos da dos soluciones: 
Estos son los puntos críticos de la función de posición.
Para determinar si estos puntos son máximos o mínimos,
podemos utilizar la segunda derivada. Encontramos la segunda derivada de la
función de posición:
Aplicamos las reglas de derivación nuevamente:
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:
Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico,
entonces ese punto corresponde a un mínimo. Si la segunda derivada es negativa,
entonces corresponde a un máximo.
En nuestro caso, tenemos 
, lo cual indica que el
punto crítico t = 5 es un mínimo.
Por otro lado, 
, lo cual indica que el
punto crítico t = 2 es un máximo.
Por lo tanto, la función de posición tiene un mínimo en t =
5 y un máximo en t = 2.
Es importante mencionar que también podríamos haber
utilizado el criterio de la primera derivada para determinar si los puntos
críticos son máximos o mínimos. Al analizar el comportamiento de la función de
posición en intervalos cercanos a los puntos críticos, podemos determinar si la
función está aumentando o disminuyendo en esos puntos.
e) ¿Cuál es la razón
de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo: [5,6]
y [8,9]?
Para calcular la razón de cambio promedio de la función de
posición en los intervalos de tiempo [5, 6] y [8, 9], utilizaremos la fórmula
de la razón de cambio promedio:
Razón de cambio promedio 
donde a y b son los límites del intervalo y f(t) es la
función de posición.
La función de posición es: 
Para el intervalo [5, 6]:
Aplicamos la fórmula de la razón de cambio promedio:
Razón de cambio promedio 
Calculamos 
Sustituimos los valores en la fórmula de la razón de cambio promedio
y realizamos los cálculos.
Para el intervalo [8, 9]:
Aplicamos la fórmula de la razón de cambio promedio:
Razón de cambio promedio 
Calculamos f(6) y f(5):
Sustituimos los valores en la fórmula de la razón de cambio
promedio y realizamos los cálculos.
De esta manera, obtendrás la razón de cambio promedio de la
función de posición en los intervalos de tiempo [5, 6] y [8, 9].
Recuerda que la razón de cambio promedio representa la
velocidad promedio en esos intervalos de tiempo. Si tienes alguna otra
pregunta, estaré encantado de ayudarte.
2. Cuando hayas
finalizado, analiza y da respuesta a los siguientes planteamientos:
a) ¿Qué nos indica la
diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés?
La diferencia en el
cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés nos indica
cómo varía la función de posición en diferentes intervalos de tiempo. Si la
diferencia en la razón de cambio promedio es significativa entre los
intervalos, significa que la velocidad promedio de la partícula está cambiando
rápidamente en esos intervalos. Esto puede indicar aceleración o desaceleración
en el movimiento de la partícula.
b) Imagina que, en
lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos
calculando ingresos ¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de cambio
promedio en el contexto de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en
máximo 10 líneas.
En el contexto de un negocio familiar, el cálculo de la
razón de cambio promedio en el contexto de los ingresos puede tener varias
utilidades. Por ejemplo, podría ayudar a identificar períodos de crecimiento o
declive en los ingresos familiares, lo que permitiría tomar decisiones
informadas sobre estrategias comerciales y financieras. Además, la razón de
cambio promedio podría utilizarse para comparar el rendimiento de diferentes
períodos de tiempo, evaluar el impacto de medidas tomadas para aumentar los
ingresos y proporcionar una métrica cuantitativa para evaluar el éxito y la
eficiencia de un negocio familiar. En resumen, el cálculo de la razón de cambio
promedio en ingresos brinda una herramienta importante para analizar el
desempeño financiero y tomar decisiones informadas en un negocio familiar.
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