MÒDULO 12 Actividad integradora 6. Aplicación de leyes eléctricas
Lee
los planteamientos y responde las preguntas:
1.
Supongamos que tienes un calentador eléctrico en tu casa con capacidad de 110
litros de agua que funciona con una corriente de 20 A para 140 V. El calentador
puede calentar el agua desde 15 °C a 50 °C en 1 hora 36 minutos. Supongamos que
tu familia está compuesta por cuatro personas y usa aproximadamente 220 litros
de agua caliente para bañarse para bañarse a diario, con un costo de $2.80 por
kilovatio/hora.
1.1.
¿Cuál es la potencia eléctrica del calentador en kW
La
potencia eléctrica del calentador se puede calcular utilizando la ley de Ohm,
que establece que la potencia es igual al producto de la corriente y el
voltaje:
Potencia
= Corriente x Voltaje
En
este caso, la corriente es de 20 A y el voltaje es de 140 V, por lo tanto:
Potencia
= 20 A x 140 V = 2800 W
Para
expresar la potencia en kilovatios (kW), se divide entre 1000:
Potencia
en kW = 2800 W / 1000 = 2.8 kW
Por
lo tanto, la potencia eléctrica del calentador es de 2.8 kW.
1.2.
¿Cuál es la energía que gasta el calentador en media hora (escribe el resultado
en kW∙h)?
Para
calcular la energía que consume el calentador en media hora, es necesario
conocer la potencia y el tiempo de uso.
La
potencia del calentador es de 2.8 kW, y el tiempo de uso en media hora es de
0.5 horas. Por lo tanto, la energía consumida es:
Energía
= Potencia x Tiempo
Energía = 2.8 kW x 0.5 horas = 1.4 kW·h
Por
lo tanto, el calentador consume 1.4 kilovatios hora de energía en media hora.
Considera
que la potencia es la energía utilizada por unidad de tiempo, es decir
P =E/t ; donde, si la potencia se mide en kW y el tiempo en
horas, entonces la energía se medirá en kW∙ h.
1.3.
Grafica el resultado de la energía que gasta el calentador y explícala.
Para
graficar la energía que consume el calentador en función del tiempo, es
necesario conocer el consumo en diferentes intervalos de tiempo. Si se asume
que el consumo es constante durante el tiempo de uso, entonces la gráfica sería
una línea recta con una pendiente igual a la potencia del calentador (2.8 kW) y
una ordenada en el origen igual a cero, ya que el consumo de energía es cero
cuando el calentador no está en uso.
Por
ejemplo, si se grafica el consumo en función del tiempo para intervalos de 30
minutos, la gráfica sería la siguiente:
Gráfica
de consumo de energía del calentador eléctrico en función del tiempo
La
línea recta que representa el consumo tiene una pendiente de 2.8 kW y pasa por
el origen (0,0). Cada punto en la gráfica representa la energía consumida
durante un intervalo de 30 minutos.
La explicación de la gráfica es que el
consumo de energía del calentador eléctrico es constante mientras está en uso,
y se puede calcular multiplicando la potencia por el tiempo de uso. En este
caso, el consumo es de 1.4 kW·h en un intervalo de tiempo de 30 minutos, y se puede seguir
graficando para intervalos de tiempo más largos. En general, cuanto más tiempo
se use el calentador, mayor será el consumo de energía.
1.4. Con el resultado del gasto de
energía obtenido, calcula el costo que paga tu familia diariamente por bañarse,
considerando que gastan 220 litros de agua; para ello:
1.4.1.
Calcula el costo de dejar el calentador funcionando a su capacidad máxima por
una hora.
El
costo de dejar el calentador funcionando a su capacidad máxima por una hora se
puede calcular utilizando la fórmula:
Costo
= Potencia x Tiempo x Costo por kilovatio/hora
En
este caso, la potencia del calentador es de 2.8 kW, el tiempo de uso es de una
hora, y el costo por kilovatio/hora es de $2.80. Por lo tanto, el costo es:
Costo
= 2.8 kW x 1 hora x $2.80/kW·h = $7.84
Por lo tanto, dejar el calentador
funcionando a su capacidad máxima por una hora tiene un costo de $7.84.
1.4.2.
Calcula cuánto pagan por calentar de 15 °C a 50 °C 220 litros de agua caliente.
Para
calcular el costo de calentar 220 litros de agua de 15 °C a 50 °C, es necesario
conocer la cantidad de energía requerida para elevar la temperatura del agua y
el costo de esa energía.
La
cantidad de energía requerida se puede calcular utilizando la fórmula:
Energía = masa x calor específico x
cambio de temperatura
donde
la masa es la cantidad de agua (220 litros), el calor específico del agua es
4.18 J/g·°C, y el cambio de temperatura es 50 °C - 15 °C = 35 °C. Convertir los
litros a gramos (1 litro de agua pesa 1 kg o 1000 g):
masa
= 220 litros x 1000 g/litro = 220,000 g
Por
lo tanto, la cantidad de energía requerida es:
Energía = 220,000 g x 4.18 J/g·°C x 35
°C = 33,407,000 J = 9.28 kW·h
El
costo de esa energía se puede calcular multiplicando la energía por el costo
por kilovatio/hora:
Costo = 9.28 kW·h x $2.80/kW·h = $25.98
Por lo tanto, calentar 220 litros de
agua de 15 °C a 50 °C tiene un costo de $25.98.
1.5. Si la resistencia del calentador
se averiara, ¿qué valor deberá tener la resistencia para que funcione con una
capacidad de 220 litros?
Para calcular el valor de la
resistencia del calentador si la resistencia original se averiara, es necesario
utilizar la ley de Ohm, que establece que la corriente eléctrica que fluye a
través de un conductor es directamente proporcional al voltaje aplicado e
inversamente proporcional a la resistencia del conductor. La fórmula de la ley
de Ohm es:
I = V/R
donde I es la corriente eléctrica en
amperios (A), V es el voltaje en voltios (V), y R es la resistencia en ohmios
(Ω).
En este caso, la corriente eléctrica es
de 20 A, el voltaje es de 140 V, y la resistencia original es desconocida. Si
se desea que el calentador funcione con una capacidad de 220 litros, se asume
que se necesita la misma cantidad de energía que en el caso anterior, es decir,
9.28 kW·h. Entonces, se puede calcular la potencia necesaria para obtener esa
energía en una hora y 36 minutos:
Potencia = Energía / Tiempo = 9.28 kW·h
/ 1.6 horas = 5.8 kW
Una
vez que se conoce la potencia necesaria, se puede calcular la resistencia
requerida utilizando la ley de Ohm:
R = V / I = 140 V / 20 A = 7 Ω
Por lo tanto, si la resistencia
original del calentador se averiara y se quisiera que el calentador funcione
con una capacidad de 220 litros, la resistencia debería tener un valor de 7 Ω.
Cabe señalar que este es un cálculo teórico y que en la práctica, la
resistencia real podría tener un valor diferente debido a factores como la
eficiencia del calentador y la resistencia interna de los cables. Además, es
importante tener en cuenta que modificar la resistencia de un calentador
eléctrico puede ser peligroso y debe hacerse únicamente por un técnico
especializado.
2. Ahora, supongamos que tienes un
calentador eléctrico con forma de cilindro circular recto, con un radio de 26.5
cm y un alto de 50 cm, que cuenta con capacidad de 110 litros de agua.
2.1. Calcula la presión hidrostática en
el fondo del calentador eléctrico cuando éste se encuentra lleno de agua. Anota
tu resultado en kPa.
La presión hidrostática en el fondo del
calentador eléctrico cuando está lleno de agua se puede calcular utilizando la
ecuación de la presión hidrostática:
P = ρgh
donde P es la presión hidrostática en
pascales (Pa), ρ es la densidad del agua en kg/m³, g es la aceleración debida a
la gravedad (9.81 m/s²) y h es la altura del agua sobre el punto donde se mide
la presión.
Para calcular la densidad del agua, se
puede utilizar el valor estándar de 1000 kg/m³.
La altura del agua en el calentador
será igual al volumen de agua dividido entre la sección transversal del
cilindro:
h = V / A = V / (πr²)
donde
V es el volumen de agua en metros cúbicos (m³), A es la sección transversal del
cilindro en metros cuadrados (m²) y r es el radio del cilindro en metros (m).
El volumen de agua que cabe en el
calentador es de 110 litros, lo que equivale a 0.11 m³. La sección transversal
del cilindro se puede calcular como πr², donde r es el radio del cilindro en
metros. En este caso, el radio es de 26.5 cm, lo que equivale a 0.265 metros.
Por lo tanto, la sección transversal es:
A = π(0.265 m)² = 0.220 m²
Sustituyendo los valores en la ecuación
de la presión hidrostática:
P = (1000 kg/m³)(9.81 m/s²)(0.11 m) / 0.220 m² ≈ 4,915
Pa ≈ 4.92 kPa
Por lo tanto, la presión hidrostática
en el fondo del calentador eléctrico cuando está lleno de agua es de
aproximadamente 4.92 kPa.
2.2. El regulador de temperatura del
calentador de agua dejó de funcionar, por lo que el agua en el interior de éste
se evaporó totalmente, lo que provocó que el calentador se llene de vapor. El
calentador contenía agua líquida hasta la mitad, antes de que comenzara a
funcionar. Entonces ¿cuál será la densidad del vapor al interior del
calentador? Considera que 1 litro de agua tiene masa igual a 1 kg.
Para determinar la densidad del vapor
al interior del calentador, necesitamos conocer la presión y la temperatura del
vapor en su interior.
Si el calentador se llenó completamente
de vapor, entonces podemos asumir que la presión interna del vapor es igual a
la presión atmosférica al nivel del mar, que es de aproximadamente 101.3 kPa.
Para obtener la temperatura del vapor,
podemos utilizar la ley de gas ideal, que establece que la presión, el volumen
y la temperatura de un gas están relacionados por la ecuación PV = nRT, donde P
es la presión en pascales, V es el volumen en metros cúbicos, n es la cantidad
de sustancia en moles, R es la constante de los gases ideales (8.314 J/(mol·K))
y T es la temperatura en Kelvin.
En este caso, podemos asumir que la
cantidad de sustancia de vapor es la misma que la de agua líquida que
originalmente contenía el calentador (55 litros, o 0.055 m³), ya que todo el
agua se evaporó. Además, podemos asumir que el volumen del calentador no cambió
significativamente durante la evaporación del agua, por lo que el volumen del
vapor es igual al volumen original del agua líquida, es decir, 0.055 m³.
La ecuación se puede despejar para
obtener la temperatura del vapor:
T = PV / (nR)
Sustituyendo los valores:
T = (101.3 kPa)(0.055 m³) / [(55
kg)/(1000 g/kg)·(8.314 J/(mol·K))] ≈ 422 K
Por lo tanto, la temperatura del vapor
al interior del calentador es de aproximadamente 422 K (149 °C).
La densidad del vapor se puede calcular
utilizando la ecuación de estado del gas ideal, que establece que la densidad
(ρ) de un gas está relacionada con la presión (P), la temperatura (T) y la masa
molecular (M) del gas por la ecuación ρ = PM/(RT).
La masa molecular del vapor se puede
calcular utilizando la masa molecular del agua (18.015 g/mol) y la ecuación PV
= nRT:
n = PV / RT = (101.3 kPa)(0.055 m³) /
[(8.314 J/(mol·K))(422 K)] ≈ 0.045 mol
M = m/n = (55 kg)/(0.045 mol) ≈ 1222
g/mol
Sustituyendo los valores:
ρ = (101.3 kPa)(1222 g/mol) / [(8.314
J/(mol·K))(422 K)] ≈ 2.97 kg/m³
Por lo tanto, la densidad del vapor al
interior del calentador es de aproximadamente 2.97 kg/m³.
Analiza y responde:
3.1 ¿Qué ley se aplica en el
funcionamiento del calentador y por qué?
El funcionamiento del calentador
eléctrico se rige por la ley de Joule, también conocida como ley de
calentamiento de Joule. Esta ley establece que la energía eléctrica que circula
por un conductor eléctrico se convierte en calor, y la cantidad de calor
generado es proporcional al cuadrado de la corriente eléctrica y al tiempo que
ésta circula por el conductor. En el caso del calentador eléctrico, la
corriente eléctrica circula a través de la resistencia del calentador, que se calienta
y transfiere ese calor al agua que lo rodea. Por lo tanto, la ley de Joule es
la que explica cómo la energía eléctrica se convierte en energía térmica en el
calentador eléctrico.
3.2 ¿Qué ley se aplicó para reparar el
calentador y por qué?
No se especifica qué ley se aplicó para
reparar el calentador en la pregunta. Sin embargo, generalmente la reparación
de un calentador eléctrico implica la identificación y solución de problemas
eléctricos y mecánicos. La solución de problemas eléctricos a menudo se basa en
la aplicación de las leyes de la electricidad, como la ley de Ohm y la ley de
Kirchhoff. Por otro lado, la solución de problemas mecánicos puede basarse en
la aplicación de leyes físicas como la ley de la termodinámica o las leyes de
la mecánica de fluidos. En general, la solución de problemas para reparar un
calentador eléctrico puede requerir la aplicación de diferentes leyes físicas y
matemáticas según las circunstancias específicas de la avería.
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